Introduction
Le dernier théorème de Fermat est l'un des problèmes mathématiques les plus célèbres de l'histoire. Pendant plus de 350 ans, il a défié les plus grands esprits mathématiques, devenant ainsi l'une des énigmes les plus fascinantes et les plus durables des mathématiques.
"J'ai trouvé une démonstration merveilleuse de ce théorème, mais cette marge est trop étroite pour la contenir." - Pierre de Fermat
L'Énoncé du Théorème
Le dernier théorème de Fermat stipule que l'équation :
n'a pas de solutions en nombres entiers positifs x, y, et z pour tout entier n strictement supérieur à 2.
Pour n = 2, nous reconnaissons le théorème de Pythagore, qui a de nombreuses solutions (les triplets pythagoriciens). Cependant, Fermat affirmait que pour n > 2, aucune solution n'existe.
L'Histoire du Théorème
Pierre de Fermat écrit sa fameuse note dans la marge de son exemplaire de l'Arithmetica de Diophante.
Andrew Wiles annonce une preuve du théorème lors d'une conférence à Cambridge.
Après avoir corrigé une erreur dans sa preuve initiale, Wiles publie la démonstration complète.
L'Impact sur les Mathématiques
La quête pour prouver le dernier théorème de Fermat a conduit au développement de nombreux domaines des mathématiques :
- Théorie algébrique des nombres
- Géométrie algébrique
- Théorie des représentations
La preuve finale d'Andrew Wiles a utilisé des techniques mathématiques avancées qui n'existaient pas du temps de Fermat, soulevant la question de savoir si Fermat avait réellement une preuve simple comme il le prétendait.
La Preuve de Wiles
La preuve de Wiles est remarquable par sa complexité et son utilisation de mathématiques modernes. Elle repose sur plusieurs piliers :
- La conjecture de Taniyama-Shimura
- La théorie des courbes elliptiques
- Les formes modulaires
La démonstration de Wiles fait plus de 100 pages et a nécessité des années de travail acharné et de collaboration avec d'autres mathématiciens.
Conclusion
Le dernier théorème de Fermat reste un témoignage fascinant de la persévérance humaine et de la beauté des mathématiques. Son histoire nous rappelle que même les problèmes apparemment simples peuvent cacher des profondeurs insoupçonnées, et que la quête de la connaissance mathématique est un voyage sans fin.