1. Introduction aux vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction, un sens et une longueur (ou norme). En géométrie, les vecteurs sont souvent représentés par des flèches.
Exemple :
Un vecteur →AB est défini par :
- Son point de départ A
- Son point d'arrivée B
- Sa direction (la droite passant par A et B)
- Son sens (de A vers B)
- Sa longueur (la distance entre A et B)
2. Caractéristiques d'un vecteur
2.1 Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère, un vecteur →AB peut être représenté par ses coordonnées (x, y), où :
- x est la différence entre l'abscisse de B et celle de A
- y est la différence entre l'ordonnée de B et celle de A
Exemple :
Si A(1, 2) et B(4, 5), alors les coordonnées du vecteur →AB sont (3, 3).
2.2 Égalité de vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, même s'ils n'ont pas le même point d'application.
3. Lien entre vecteurs et translations
Une translation peut être définie par un vecteur. La translation qui transforme un point A en un point B est caractérisée par le vecteur →AB.
Exemple :
La translation qui transforme A(1, 2) en B(4, 5) est caractérisée par le vecteur (3, 3).
Cette translation appliquée à un point C(0, 0) donnerait l'image C'(3, 3).
4. Opérations sur les vecteurs
4.1 Addition de vecteurs
L'addition de deux vecteurs →u et →v se fait en additionnant leurs coordonnées respectives.
Exemple :
Si →u = (2, 3) et →v = (1, -1), alors →u + →v = (3, 2)
4.2 Multiplication d'un vecteur par un nombre réel
Multiplier un vecteur par un nombre réel k revient à multiplier chacune de ses coordonnées par k.
Exemple :
Si →u = (2, 3) et k = 2, alors k→u = (4, 6)