MathEsprit - Équations du second degré

1. Définition

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2. Elle s'écrit sous la forme :

\[ax^2 + bx + c = 0\]

où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des nombres réels, avec \(a \neq 0\).

2. Discriminant

Le discriminant est un élément clé pour résoudre les équations du second degré. Il est noté \(\Delta\) (delta) et se calcule ainsi :

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Le signe du discriminant détermine le nombre et la nature des solutions de l'équation.

3. Résolution

La résolution d'une équation du second degré dépend du signe du discriminant :

Si \(\Delta > 0\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Si \(\Delta = 0\), l'équation admet une unique solution réelle (double) :

\[x = \frac{-b}{2a}\]

Si \(\Delta < 0\), l'équation n'admet pas de solution réelle.

4. Exemple

Résolvons l'équation : \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

1) Identifions les coefficients : \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -3\)

2) Calculons le discriminant :

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49\)

3) \(\Delta > 0\), donc l'équation a deux solutions réelles :

\(x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3\)

Les solutions sont donc \(x_1 = -\frac{1}{2}\) et \(x_2 = 3\).

5. Applications

Les équations du second degré sont utilisées dans de nombreux domaines :

Physique : trajectoires de projectiles
Économie : modèles de prix et de profit
Géométrie : calcul d'aires et de volumes
Optimisation : recherche de maximums et minimums

6. Exploration graphique

Utilisez cet outil interactif pour visualiser comment les coefficients a, b et c affectent la forme et la position de la parabole représentant une équation du second degré.

Graphique Interactif