MathEsprit - Équations du Second Degré

1. Introduction

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2. Elle s'écrit sous la forme générale :

\[ax^2 + bx + c = 0\]

où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des nombres réels, avec \(a \neq 0\).

Le discriminant, noté Δ (delta), est un élément clé pour résoudre les équations du second degré. Il est défini par :

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Le signe du discriminant détermine le nombre et la nature des solutions de l'équation.

Selon la valeur du discriminant, on distingue trois cas :

Si \(\Delta > 0\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Si \(\Delta = 0\), l'équation admet une solution réelle double :
\[x = -\frac{b}{2a}\]
Si \(\Delta < 0\), l'équation n'admet pas de solution réelle.

Résolvons l'équation : \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

1) Identifions les coefficients : \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\)

2) Calculons le discriminant : \(\Delta = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49\)

3) Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles :

\(x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 + 7}{4} = 3\)

Les solutions sont donc \(x_1 = -\frac{1}{2}\) et \(x_2 = 3\).

Une fois les solutions trouvées, on peut écrire l'équation sous forme factorisée :

\[a(x - x_1)(x - x_2) = 0\]

Cette forme est particulièrement utile pour résoudre des équations plus complexes.