Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Elle associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté généralement \(u_n\).
Une suite numérique \((u_n)\) est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel \(u_n\). On note :
\[u : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\]
\[n \mapsto u_n\]
Il existe principalement deux façons de définir une suite :
On exprime le terme général \(u_n\) en fonction de n.
Exemple : \(u_n = 2n + 1\)
Dans cet exemple, on peut calculer directement n'importe quel terme de la suite :
\(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\), \(u_2 = 5\), etc.
On donne le premier terme \(u_0\) (ou \(u_1\)) et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s).
Exemple : \(u_0 = 1\) et pour tout \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = 2u_n + 1\)
Ici, on calcule les termes successivement :
\(u_0 = 1\)
\(u_1 = 2u_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\)
\(u_2 = 2u_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\)
etc.
On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points de coordonnées (n, \(u_n\)) dans un repère.
Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante est appelée la raison de la suite, généralement notée r.
Pour une suite arithmétique \((u_n)\) de raison r :
Exemple : La suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = u_n + 2\) est une suite arithmétique de raison 2.
Une suite géométrique est une suite dans laquelle le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant est appelé la raison de la suite, généralement notée q.
Pour une suite géométrique \((u_n)\) de raison q :
Exemple : La suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n\) est une suite géométrique de raison 3.
Exercice 1 : Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n - 2\). Calculer les 5 premiers termes de cette suite.
Exercice 2 : Soit la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 2\) et \(v_{n+1} = 2v_n + 1\). Calculer les 4 premiers termes de cette suite.