L'étude des variations d'une fonction est une partie essentielle de l'analyse en mathématiques. Elle permet de comprendre comment une fonction évolue sur son domaine de définition.
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
Une fonction f est constante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :
f(x₁) = f(x₂)
Le tableau de variations est un outil graphique qui résume les variations d'une fonction sur son domaine de définition.
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↗ | 2 | ↘ |
Ce tableau indique que la fonction f est croissante de -∞ à 0, atteint un maximum de 2 en x=0, puis est décroissante de 0 à +∞.
La dérivée d'une fonction est un outil puissant pour étudier ses variations.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
1. Calculons la dérivée : f'(x) = 2x - 2
2. Cherchons le point où f'(x) = 0 :
2x - 2 = 0 ⇔ x = 1
3. Étudions le signe de f'(x) :
4. Dressons le tableau de variations :
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Voici la représentation graphique de la fonction f(x) = x² - 2x + 1 :
Exercice 1 : Étudiez les variations de la fonction g(x) = x³ - 3x² + 2 sur ℝ.
Exercice 2 : Déterminez les variations de la fonction h(x) = 2x / (x² + 1) sur ℝ.