La dérivation est un concept fondamental en analyse mathématique. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction et de calculer sa pente en tout point. C'est un outil essentiel pour comprendre le comportement des fonctions et résoudre de nombreux problèmes en physique, économie et autres domaines scientifiques.
La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\) est définie comme la limite du taux de variation de la fonction quand l'accroissement tend vers zéro :
Cette limite, si elle existe, représente la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x\).
Géométriquement, la dérivée \(f'(x)\) représente la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x\).
Voici les principales règles de dérivation pour les fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(f(x) = k\) (constante) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = e^x\) | \(f'(x) = e^x\) |
| \(f(x) = \ln(x)\) | \(f'(x) = \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\) |
Les règles suivantes s'appliquent pour les opérations sur les fonctions :
(u + v)' = u' + v'
(ku)' = ku' (k constant)
(uv)' = u'v + uv'
(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (v ≠ 0)
Problème : Dériver la fonction \(f(x) = x^2 + 3x - 2\)
Solution :
Appliquons les règles de dérivation :
Pour vous entraîner, essayez de dériver les fonctions suivantes :
Note importante : La maîtrise de la dérivation est cruciale pour la suite de vos études en mathématiques. Elle est notamment utilisée en physique pour calculer des vitesses et des accélérations, et en économie pour étudier les variations de fonctions de coût ou de profit.