Les applications de la dérivation
La dérivation est un outil puissant en mathématiques qui a de nombreuses applications pratiques. Dans ce cours, nous allons explorer quelques-unes des applications les plus importantes de la dérivation pour les élèves de première.
1. Étude des variations d'une fonction
L'une des applications les plus courantes de la dérivation est l'étude des variations d'une fonction.
Théorème : Lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(f'\) sa fonction dérivée :
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Exemple : Étude des variations de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
1. Calculons la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
2. Étudions le signe de \(f'(x)\) :
- Pour \(x < 0\) : \(f'(x) < 0\), donc \(f\) est décroissante
- Pour \(0 < x < 2\) : \(f'(x) < 0\), donc \(f\) est décroissante
- Pour \(x > 2\) : \(f'(x) > 0\), donc \(f\) est croissante
3. \(f'(x) = 0\) pour \(x = 0\) et \(x = 2\), ce sont des points particuliers (extrema locaux).
2. Recherche d'extrema
La dérivation nous permet également de trouver les extrema (maxima et minima) d'une fonction.
Théorème : Condition nécessaire d'extremum local
Si \(f\) admet un extremum local en un point \(a\) intérieur à son domaine de définition et si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f'(a) = 0\).
Exemple : Trouver les extrema de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
1. Nous avons déjà calculé \(f'(x) = 3x(x-2)\)
2. Résolvons \(f'(x) = 0\) : \(3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
3. Étudions ces points :
- \(f(0) = 2\) : minimum local
- \(f(2) = -2\) : maximum local
3. Équation de la tangente
La dérivée nous permet de trouver l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.
Théorème : Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est :
\(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
Exemple : Équation de la tangente à \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) au point d'abscisse 1
1. Calculons \(f'(1) = 3(1)(1-2) = -3\)
2. Calculons \(f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0\)
3. L'équation de la tangente est donc : \(y = -3(x-1) + 0\) soit \(y = -3x + 3\)
4. Optimisation
La dérivation est un outil puissant pour résoudre des problèmes d'optimisation dans divers domaines.
Exemple : Maximiser l'aire d'un rectangle
Un fermier dispose de 100m de clôture pour entourer un champ rectangulaire. Quelle est l'aire maximale possible ?
1. Soit \(x\) la largeur du rectangle. Alors la longueur est \((50-x)\)
2. L'aire est donnée par \(A(x) = x(50-x) = 50x - x^2\)
3. Dérivons : \(A'(x) = 50 - 2x\)
4. Résolvons \(A'(x) = 0\) : \(50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25\)
5. L'aire maximale est donc obtenue pour un carré de côté 25m, soit une aire de 625m²