Introduction au Nombre Dérivé
Le nombre dérivé est un concept fondamental en analyse mathématique. Il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point donné.
Définition du Nombre Dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est défini par :
Cette limite, si elle existe, représente le taux de variation instantané de la fonction f au point a.
Interprétation Géométrique
Géométriquement, le nombre dérivé f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
Exemple
Considérons la fonction f(x) = x² + 2x + 1. Calculons le nombre dérivé en x = 1.
f'(1) = lim[h→0] ((1+h)² + 2(1+h) + 1 - (1² + 2·1 + 1)) / h
f'(1) = lim[h→0] (1 + 2h + h² + 2 + 2h + 1 - 4) / h
f'(1) = lim[h→0] (2h + h²) / h = lim[h→0] (2 + h) = 2
Donc, le nombre dérivé de f en x = 1 est 2.
Importance du Nombre Dérivé
Le nombre dérivé est crucial pour :
- Déterminer la pente de la tangente à une courbe en un point
- Étudier les variations d'une fonction
- Résoudre des problèmes d'optimisation
- Approximer des valeurs de fonctions (approximation linéaire)
Note importante
Le nombre dérivé n'existe pas toujours. Une fonction peut ne pas être dérivable en certains points (par exemple, aux points anguleux ou aux discontinuités).