L'étude des fonctions est un aspect fondamental de l'analyse mathématique. Elle permet de comprendre le comportement d'une fonction, ses propriétés et ses caractéristiques. En classe de Première, nous nous concentrons sur les éléments suivants :
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Il est crucial de déterminer ce domaine avant toute autre étude.
Exemple : Soit \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). Le domaine de définition de f est \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) car la fraction n'est pas définie pour x = 2.
Le sens de variation d'une fonction indique si elle est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné. Pour étudier les variations, on utilise souvent le signe de la dérivée de la fonction.
Exemple : Soit \(f(x) = x^2\). Sa dérivée est \(f'(x) = 2x\).
Les extremums sont les valeurs maximales (maximum) ou minimales (minimum) que prend une fonction sur un intervalle donné. Ils peuvent être locaux (sur un intervalle) ou globaux (sur tout le domaine de définition).
Exemple : Pour la fonction \(f(x) = x^2\), le minimum global est atteint en x = 0, avec f(0) = 0.
Une fonction peut être paire, impaire ou ni l'une ni l'autre. Cette propriété est liée à la symétrie de la courbe représentative de la fonction.
Exemple : La fonction \(f(x) = x^2\) est paire, tandis que \(g(x) = x^3\) est impaire.
Une fonction est périodique s'il existe un nombre réel T non nul tel que pour tout x du domaine de définition, \(f(x+T) = f(x)\). T est appelé période de la fonction.
Exemple : La fonction sinus, \(f(x) = \sin(x)\), est périodique de période 2π.
La représentation graphique d'une fonction permet de visualiser toutes les propriétés étudiées précédemment. Elle est un outil précieux pour comprendre le comportement global de la fonction.
Pour tracer une courbe représentative, on suit généralement ces étapes :
Exercice 1 : Étudier la fonction \(f(x) = x^3 - 3x\) sur l'intervalle [-2, 2]. Déterminer son sens de variation, ses extremums et sa parité.
Exercice 2 : Soit \(g(x) = \frac{x}{x^2+1}\). Déterminer le domaine de définition de g, étudier sa parité et ses variations sur \(\mathbb{R}\).