Qu'est-ce que le logarithme ?
Le logarithme est une fonction mathématique fondamentale qui permet d'exprimer l'exposant auquel il faut élever une base pour obtenir un nombre donné. C'est en quelque sorte l'opération inverse de l'exponentiation.
loga(x) = y ⇔ ay = x
Où :
- a est la base du logarithme (a > 0 et a ≠ 1)
- x est l'argument du logarithme (x > 0)
- y est le résultat du logarithme
Le logarithme népérien
En classe de Première, on s'intéresse particulièrement au logarithme népérien, noté ln, qui utilise la base e (nombre d'Euler, approximativement égal à 2,71828).
ln(x) = y ⇔ ey = x
Exemple :
ln(e) = 1 car e1 = e
ln(e2) = 2 car e2 = e2
Propriétés fondamentales
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
- ln(ab) = ln(a) + ln(b)
- ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
- ln(an) = n ln(a)
Note : Le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs.
Représentation graphique
Voici la représentation graphique de la fonction logarithme népérien :
Applications
Les logarithmes sont utilisés dans de nombreux domaines :
- En physique pour mesurer l'intensité des sons (décibels) ou les tremblements de terre (échelle de Richter)
- En chimie pour calculer le pH
- En finance pour calculer les intérêts composés
- En informatique pour analyser la complexité des algorithmes