Table des matières
1. Introduction
Les logarithmes sont des fonctions mathématiques fondamentales qui jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences appliquées. Ils sont particulièrement utiles pour simplifier des calculs complexes et pour modéliser divers phénomènes naturels et économiques.
2. Définition et notation
Le logarithme d'un nombre positif x en base b est l'exposant auquel il faut élever b pour obtenir x.
Deux bases sont particulièrement importantes :
- Le logarithme naturel (base e) : \(\ln(x) = \log_e(x)\)
- Le logarithme décimal (base 10) : \(\log(x) = \log_{10}(x)\)
3. Propriétés fondamentales
Propriétés des logarithmes :
- \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
- \(\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
- \(\log_b(x^n) = n\log_b(x)\)
- \(\log_b(1) = 0\)
- \(\log_b(b) = 1\)
- \(b^{\log_b(x)} = x\)
- \(\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\) (Changement de base)
4. Représentation graphique
La fonction logarithme a une forme caractéristique :
Caractéristiques importantes :
- Domaine de définition : \(]0; +\infty[\)
- Croissance : strictement croissante
- Asymptote verticale en x = 0
- Passage par le point (1, 0)
5. Résolution d'équations logarithmiques
Les équations logarithmiques peuvent souvent être résolues en utilisant les propriétés des logarithmes et des exponentielles.
Exemple :
Résoudre l'équation : \(\log_2(x) + \log_2(x+3) = 3\)
La solution x = -4 est à rejeter car le domaine de définition du logarithme est ]0; +∞[. Donc la seule solution est x = 1.
6. Applications pratiques
Les logarithmes ont de nombreuses applications dans divers domaines :
- En acoustique : l'échelle des décibels
- En chimie : le pH
- En finance : calculs d'intérêts composés
- En sismologie : l'échelle de Richter
- En théorie de l'information : mesure de l'entropie
7. Exercices et problèmes
Pour maîtriser les concepts liés aux logarithmes, il est essentiel de pratiquer avec divers exercices et problèmes.
Accéder aux exercices sur les logarithmes