Vecteurs dans le plan repéré

Introduction aux vecteurs dans le plan repéré

Dans le plan repéré, un vecteur est représenté par ses coordonnées, qui expriment son déplacement horizontal et vertical. Cette représentation permet de manipuler les vecteurs de manière algébrique, facilitant les calculs et les démonstrations géométriques.

1. Définition et notation

Un vecteur \(\vec{u}\) dans le plan repéré est défini par ses coordonnées (x, y) :

où x représente le déplacement horizontal et y le déplacement vertical.

2. Vecteur entre deux points

Soit A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) deux points du plan. Le vecteur \(\vec{AB}\) est défini par :

3. Opérations sur les vecteurs

a) Addition de vecteurs

Pour deux vecteurs \(\vec{u} = (x_1, y_1)\) et \(\vec{v} = (x_2, y_2)\) :

b) Multiplication par un scalaire

Pour un vecteur \(\vec{u} = (x, y)\) et un scalaire k :

4. Propriétés importantes

• Norme d'un vecteur : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• Vecteurs colinéaires : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)