Table des matières
1. Introduction
Le produit scalaire est une notion fondamentale en géométrie et en algèbre linéaire. Il permet de quantifier les relations entre les vecteurs, notamment en termes d'angle et de longueur. Son importance se reflète dans de nombreuses applications en physique, en informatique graphique et en optimisation.
2. Définition du produit scalaire
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est défini par :
où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs.
3. Propriétés du produit scalaire
Propriétés fondamentales
- Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Bilinéarité :
- \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}\)
- \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\) où k est un scalaire
- Positivité : \(\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0\) et \(\vec{u} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}\)
4. Formules de calcul
Dans un repère orthonormé
Si \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\), alors :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \]En fonction des coordonnées polaires
Si \(\vec{u}(r_1, \theta_1)\) et \(\vec{v}(r_2, \theta_2)\), alors :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1) \]5. Applications géométriques
Calcul d'angles
L'angle \(\theta\) entre deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) peut être calculé par :
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]Calcul de distances
La distance d entre un point M(x,y) et une droite d'équation ax + by + c = 0 est donnée par :
\[ d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]6. Orthogonalité et projections
Théorème d'orthogonalité
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
\[ \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]Projection orthogonale
La projection orthogonale du vecteur \(\vec{u}\) sur le vecteur \(\vec{v}\) est donnée par :
\[ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \]7. Exercices et problèmes
Pour maîtriser le concept du produit scalaire, il est essentiel de pratiquer à travers divers exercices et problèmes. Voici quelques types d'exercices recommandés :
- Calcul de produits scalaires dans différents contextes
- Détermination d'angles entre vecteurs
- Vérification de l'orthogonalité de vecteurs
- Calcul de projections orthogonales
- Applications à des problèmes de géométrie plane et dans l'espace