MathEsprit - Orthogonalité et Projections (Produit Scalaire)

1. Orthogonalité

Définition

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

\[ \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

Exemple

Soit \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (-4, 3)\). Vérifions s'ils sont orthogonaux :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0 \]

Comme le produit scalaire est nul, \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.

2. Projections orthogonales

Définition

La projection orthogonale du vecteur \(\vec{u}\) sur le vecteur \(\vec{v}\) est donnée par :

\[ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \]

Théorème

Pour tout vecteur \(\vec{u}\), on peut écrire :

\[ \vec{u} = \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) + \vec{w} \]

où \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{v}\).

Exemple

Soit \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (1, 0)\). Calculons la projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) :

\begin{align*} \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \\ &= \frac{3 \times 1 + 4 \times 0}{1^2 + 0^2} (1, 0) \\ &= 3(1, 0) \\ &= (3, 0) \end{align*}

Note importante

La projection orthogonale est un outil puissant en géométrie et en algèbre linéaire. Elle permet notamment de décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs orthogonaux, ce qui est utile dans de nombreuses applications, comme la résolution de systèmes d'équations linéaires ou l'analyse de données multidimensionnelles.