Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou rétrécit une figure par rapport à un point fixe appelé centre d'homothétie, selon un rapport donné.
\[ h_{(O,k)}(M) = M' \text{ tel que } \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} \]
Où :
\(h_{(O,k)}\) est l'homothétie de centre O et de rapport k
\(M\) est un point quelconque du plan
\(M'\) est l'image de \(M\) par l'homothétie
\(k\) est le rapport d'homothétie (un nombre réel non nul)
Propriétés des Homothéties
Une homothétie conserve les angles : l'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs images.
Une homothétie multiplie les longueurs par |k| : la distance entre deux points est multipliée par la valeur absolue du rapport d'homothétie.
Une homothétie multiplie les aires par k² : l'aire d'une figure est multipliée par le carré du rapport d'homothétie.
Le centre d'homothétie reste invariant : il est son propre image par l'homothétie.
Une homothétie conserve l'alignement : si des points sont alignés, leurs images le sont aussi.
Note : Si k > 0, l'homothétie conserve l'orientation de la figure. Si k < 0, l'homothétie inverse l'orientation de la figure.
Exemple d'Homothétie
Considérons un triangle ABC et une homothétie de centre O et de rapport k = 2. L'image du triangle sera un triangle A'B'C' tel que :
OA' = 2 · OA, OB' = 2 · OB, OC' = 2 · OC
Les côtés de A'B'C' sont deux fois plus longs que ceux de ABC
L'aire de A'B'C' est quatre fois plus grande que celle de ABC
Les angles de A'B'C' sont égaux à ceux de ABC
Visualisation Interactive
Utilisez les contrôles ci-dessous pour expérimenter avec une homothétie :
Applications des Homothéties
Les homothéties sont largement utilisées dans divers domaines :
Cartographie : Pour créer des cartes à différentes échelles.
Photographie : Pour le zoom et le redimensionnement des images.
Architecture : Pour créer des maquettes ou agrandir des plans.
Infographie : Pour redimensionner des objets dans les logiciels de conception 3D.
Biologie : Pour étudier les relations d'échelle dans les organismes (allométrie).
Exercices Pratiques
Pour maîtriser le concept d'homothétie, essayez ces exercices :
Dessinez un carré ABCD de côté 2 cm. Appliquez-lui une homothétie de centre A et de rapport 3. Quelles sont les dimensions du nouveau carré ?
Soit un triangle ABC et une homothétie de centre O et de rapport -2. Si O est le milieu de [BC], où se situe l'image de A ?
Une homothétie transforme un cercle de rayon 5 cm en un cercle de rayon 12 cm. Quel est le rapport de l'homothétie ?