Introduction à la Loi Binomiale
La loi binomiale est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre de succès dans une séquence de n épreuves indépendantes de Bernoulli de même probabilité p.
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p), si :
- n est le nombre d'épreuves
- p est la probabilité de succès à chaque épreuve
- Les épreuves sont indépendantes
- Chaque épreuve a seulement deux issues possibles : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p)
P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Où C(n,k) est le coefficient binomial, égal à n! / (k! * (n-k)!)
Espérance et Variance
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n,p) :
E(X) = n * p
V(X) = n * p * (1-p)
Exemple
On lance une pièce équilibrée 10 fois. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de faces "pile" obtenues.
X suit une loi binomiale B(10, 0.5) car :
- n = 10 (nombre de lancers)
- p = 0.5 (probabilité d'obtenir pile à chaque lancer)
- Les lancers sont indépendants
- Chaque lancer a deux issues possibles : pile ou face
Utilisation de la calculatrice
La plupart des calculatrices scientifiques permettent de calculer directement les probabilités de la loi binomiale. Consultez le manuel de votre calculatrice pour connaître la syntaxe exacte.
Note : La loi binomiale est très utile dans de nombreux domaines, comme le contrôle qualité, les sondages, ou encore en biologie pour l'étude de la transmission des gènes.
Calculateur de Loi Binomiale
Calculez P(X = k) pour une loi binomiale B(n,p) :