Énoncé du théorème
Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[. Alors il existe au moins un point c appartenant à ]a,b[ tel que :
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
Intuition géométrique
Géométriquement, ce théorème signifie qu'il existe au moins un point c entre a et b où la tangente à la courbe de f est parallèle à la sécante passant par les points (a,f(a)) et (b,f(b)).
Preuve
- Définissons une fonction auxiliaire g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)](x-a)/(b-a)
- g est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
- On constate que g(a) = g(b) = f(a)
- Appliquons le théorème de Rolle à g : il existe c ∈ ]a,b[ tel que g'(c) = 0
- Or, g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)
- Donc f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b-a), ce qui est équivalent à l'énoncé du théorème
Applications
- Estimations et inégalités : Le théorème permet d'établir des bornes sur les variations d'une fonction.
- Approximations numériques : Il est utilisé pour estimer l'erreur dans certaines méthodes d'approximation.
- Physique : Il aide à comprendre le concept de vitesse moyenne et instantanée.
- Économie : Utilisé pour analyser les taux de variation marginaux.
Exemple concret
Considérons la fonction f(x) = x³ sur l'intervalle [0,1].
Appliquons le théorème :
- f(1) - f(0) = 1³ - 0³ = 1
- f'(x) = 3x²
- Le théorème affirme qu'il existe c ∈ ]0,1[ tel que 3c² = 1
- On trouve c = 1/√3 ≈ 0.577
Vérification : La tangente en x = 1/√3 est effectivement parallèle à la sécante entre (0,0) et (1,1).