MathEsprit - Cours sur les Équations Différentielles

Introduction aux Équations Différentielles

Les équations différentielles sont des équations qui mettent en relation une fonction inconnue et ses dérivées. Elles sont fondamentales dans de nombreux domaines scientifiques, notamment en physique et en ingénierie.

Définition

Une équation différentielle est une équation dans laquelle la fonction inconnue apparaît sous forme de dérivées.

L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée qui y apparaît.

Équations Différentielles du Premier Ordre

Les équations différentielles du premier ordre sont de la forme générale :

y'(x) = f(x, y(x))

Exemple

L'équation y' = 2x est une équation différentielle du premier ordre linéaire.

Méthodes de Résolution

Séparation des variables
Équations homogènes
Facteur intégrant

Équations Différentielles du Second Ordre

Les équations différentielles du second ordre impliquent la dérivée seconde de la fonction inconnue. La forme générale est :

y''(x) = f(x, y(x), y'(x))

Théorème

Pour une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :

ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0

La solution générale dépend de la nature des racines de l'équation caractéristique r² + br + c = 0.

Applications

Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes physiques, tels que :

Le mouvement des oscillateurs harmoniques
La croissance de populations
Les circuits électriques
La diffusion de la chaleur

Pratiquer avec des exercices