Équations différentielles du premier ordre

Spécialité Mathématiques - Lycée

Introduction

Les équations différentielles du premier ordre sont des équations qui mettent en relation une fonction inconnue et sa dérivée première. Elles sont fondamentales dans de nombreux domaines des sciences et de l'ingénierie, car elles permettent de modéliser des phénomènes qui évoluent dans le temps ou l'espace.

Forme générale

La forme générale d'une équation différentielle du premier ordre est :

\[y' = f(x, y)\]

où \(y = y(x)\) est la fonction inconnue, \(y'\) est sa dérivée première par rapport à \(x\), et \(f\) est une fonction donnée de deux variables.

Équations à variables séparables

Une classe importante d'équations différentielles du premier ordre est celle des équations à variables séparables. Elles ont la forme :

\[y' = g(x)h(y)\]

où \(g\) est une fonction de \(x\) seul et \(h\) une fonction de \(y\) seul.

Exemple

Résolvons l'équation différentielle : \(y' = 2xy\)

Cette équation est à variables séparables avec \(g(x) = 2x\) et \(h(y) = y\).

Étapes de résolution :

  1. \(\frac{dy}{dx} = 2xy\)
  2. \(\frac{dy}{y} = 2x dx\)
  3. \(\int \frac{dy}{y} = \int 2x dx\)
  4. \(\ln |y| = x^2 + C\)
  5. \(y = \pm e^{x^2 + C} = Ae^{x^2}\), où \(A\) est une constante non nulle.

Équations linéaires du premier ordre

Les équations linéaires du premier ordre ont la forme :

\[y' + P(x)y = Q(x)\]

où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des fonctions continues de \(x\).

Théorème (Solution générale)

La solution générale de l'équation \(y' + P(x)y = Q(x)\) est :

\[y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)\]

où \(C\) est une constante arbitraire.

Exemple

Résolvons l'équation différentielle : \(y' + 2y = xe^{2x}\)

Ici, \(P(x) = 2\) et \(Q(x) = xe^{2x}\).

Étapes de résolution :

  1. Calculons \(e^{\int P(x)dx} = e^{\int 2dx} = e^{2x}\)
  2. Multiplions l'équation par \(e^{2x}\) : \(e^{2x}y' + 2e^{2x}y = x e^{4x}\)
  3. Reconnaissons la dérivée du produit : \(\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = xe^{4x}\)
  4. Intégrons : \(e^{2x}y = \int xe^{4x}dx = \frac{1}{4}xe^{4x} - \frac{1}{16}e^{4x} + C\)
  5. Résolvons pour y : \(y = \frac{1}{4}xe^{2x} - \frac{1}{16}e^{2x} + Ce^{-2x}\)

Applications

Les équations différentielles du premier ordre sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes physiques, biologiques et économiques, tels que :

Note importante

La résolution d'une équation différentielle nécessite souvent une condition initiale pour déterminer la valeur de la constante d'intégration. Une équation différentielle avec une condition initiale est appelée un problème de Cauchy.

Pratiquer avec des exercices