Équations différentielles du second ordre

Introduction

Les équations différentielles du second ordre sont des équations qui impliquent une fonction inconnue et ses dérivées jusqu'au second ordre. Elles sont largement utilisées en physique, en ingénierie et dans d'autres domaines scientifiques pour modéliser des phénomènes complexes.

où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes, et \(f(x)\) est une fonction donnée.

Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Nous nous concentrerons sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, qui ont la forme générale :

où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes réelles avec \(a \neq 0\).

Équation caractéristique

Pour résoudre ces équations, nous utilisons l'équation caractéristique associée :

Les solutions de cette équation quadratique déterminent la forme de la solution générale de l'équation différentielle.

Solutions de l'équation homogène

La solution de l'équation homogène (\(ay'' + by' + cy = 0\)) dépend des racines de l'équation caractéristique :

• Si les racines sont réelles et distinctes (\(r_1\) et \(r_2\)) :
  \[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]
• Si les racines sont réelles et égales (\(r\)) :
  \[y(x) = (C_1 + C_2x)e^{rx}\]
• Si les racines sont complexes conjuguées (\(a \pm bi\)) :
  \[y(x) = e^{ax}(C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx))\]

où \(C_1\) et \(C_2\) sont des constantes arbitraires.

Solution particulière

Pour trouver une solution particulière de l'équation non homogène (\(ay'' + by' + cy = f(x)\)), on peut utiliser la méthode de variation des constantes ou la méthode des coefficients indéterminés, selon la forme de \(f(x)\).

Solution générale

La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation non homogène.