1. Définition d'une application linéaire
Définition
Une application linéaire est une fonction f : E → F entre deux espaces vectoriels E et F qui vérifie les deux propriétés suivantes pour tous vecteurs u et v de E et tout scalaire λ :
- f(u + v) = f(u) + f(v) (additivité)
- f(λu) = λf(u) (homogénéité)
Exemple
La fonction f : ℝ² → ℝ définie par f(x, y) = 2x + 3y est une application linéaire.
2. Propriétés des applications linéaires
Propriétés
- L'image du vecteur nul est le vecteur nul : f(0) = 0
- Pour tout vecteur u, f(-u) = -f(u)
- L'image d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images
3. Noyau et image d'une application linéaire
Définition du noyau
Le noyau d'une application linéaire f : E → F est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F :
Ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0}
Définition de l'image
L'image d'une application linéaire f : E → F est l'ensemble des vecteurs de F qui sont image d'au moins un vecteur de E par f :
Im(f) = {v ∈ F | ∃u ∈ E, f(u) = v}
4. Théorème du rang
Théorème du rang
Pour une application linéaire f : E → F entre deux espaces vectoriels de dimension finie, on a la relation suivante :
dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))
où dim désigne la dimension.
5. Matrice d'une application linéaire
Définition
Soit f : E → F une application linéaire, (e₁, ..., eₙ) une base de E et (f₁, ..., fₘ) une base de F. La matrice de f dans ces bases est la matrice A = (aᵢⱼ) telle que :
f(eⱼ) = ∑ᵢ₌₁ᵐ aᵢⱼfᵢ
Exemple
Pour l'application linéaire f : ℝ² → ℝ définie par f(x, y) = 2x + 3y, sa matrice dans les bases canoniques est :
A = [2 3]