Algèbre Linéaire - Spécialité Mathématiques
Calculez le déterminant de la matrice suivante :
A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
Le déterminant d'une matrice 2x2 se calcule avec la formule :
det(A) = ad - bc
Donc :
det(A) = (3 * 5) - (-2 * 1) = 15 + 2 = 17
Le déterminant de la matrice A est 17.
Soit la matrice :
B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}
a) Calculez le déterminant de B.
b) La matrice B est-elle inversible ? Justifiez votre réponse.
a) Pour calculer le déterminant de B, on peut utiliser la méthode du développement selon la première ligne :
det(B) = 2 * \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - 1 * \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 3 * \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}
det(B) = 2 * (2 - 8) - 1 * (-8) + 3 * (-1)
det(B) = 2 * (-6) + 8 - 3 = -12 + 8 - 3 = -7
b) Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Comme det(B) = -7 ≠ 0, la matrice B est inversible.
Soient A et B deux matrices carrées d'ordre 3. On sait que det(A) = 2 et det(B) = -3.
Calculez :
a) det(2A)
b) det(A²)
c) det(AB)
Utilisons les propriétés des déterminants :
a) det(kA) = k³ * det(A) pour une matrice d'ordre 3. Donc :
det(2A) = 2³ * det(A) = 8 * 2 = 16
b) det(A²) = [det(A)]² :
det(A²) = (2)² = 4
c) det(AB) = det(A) * det(B) :
det(AB) = 2 * (-3) = -6
Considérez le système d'équations linéaires suivant :
\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - 3y + 2z = -1 \\ 3x + 2y + z = 5 \end{cases}
a) Écrivez la matrice associée à ce système.
b) Calculez son déterminant.
c) Que pouvez-vous conclure sur la résolution de ce système ?
a) La matrice associée est :
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
b) Calculons le déterminant en développant selon la première ligne :
det(A) = 2 * \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 * \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1) * \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
det(A) = 2 * (-3 - 4) - 1 * (1 - 6) + (-1) * (2 - (-9)) = 2 * (-7) - 1 * (-5) + (-1) * 11 = -14 + 5 - 11 = -20
c) Comme le déterminant est non nul (det(A) = -20 ≠ 0), le système admet une unique solution. La matrice A est inversible, ce qui garantit l'existence et l'unicité de la solution du système.