Propriétés des Déterminants

Cours d'Algèbre Linéaire - Spécialité Mathématiques

Introduction

Les déterminants jouent un rôle crucial en algèbre linéaire. Ils possèdent de nombreuses propriétés importantes qui facilitent leur calcul et leur utilisation dans diverses applications mathématiques. Voici les principales propriétés des déterminants que vous devez connaître.

1. Linéarité par rapport aux lignes (ou colonnes)

Le déterminant est une fonction linéaire par rapport à chaque ligne (ou colonne) de la matrice.

det(aA + bB, C, D) = a·det(A, C, D) + b·det(B, C, D)

où A, B, C, D sont des vecteurs colonnes et a, b sont des scalaires.

2. Antisymétrie

Si on échange deux lignes (ou deux colonnes) d'une matrice, le signe du déterminant change.

det(B, A, C) = -det(A, B, C)

3. Multiplicativité

Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs déterminants.

det(AB) = det(A) · det(B)

4. Déterminant de la transposée

Le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée.

det(A) = det(AT)

5. Déterminant de la matrice inverse

Le déterminant de l'inverse d'une matrice inversible est égal à l'inverse du déterminant de la matrice.

det(A-1) = (det(A))-1

Exemple d'application

Considérons la matrice A suivante :

A = [2 1; 3 4]

Son déterminant est :

det(A) = 2·4 - 1·3 = 8 - 3 = 5

Si nous échangeons les deux lignes pour obtenir la matrice B :

B = [3 4; 2 1]

Son déterminant sera :

det(B) = 3·1 - 4·2 = 3 - 8 = -5 = -det(A)

Ceci illustre la propriété d'antisymétrie des déterminants.

Pratiquer avec des exercices