Introduction
Les systèmes linéaires sont omniprésents dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Leur capacité à modéliser des relations complexes entre variables en fait des outils puissants pour résoudre des problèmes du monde réel.
1. Économie et Finance
En économie, les systèmes linéaires sont utilisés pour modéliser les flux économiques, les équilibres de marché et les analyses input-output.
Exemple : Modèle de Leontief
Le modèle de Leontief utilise des systèmes linéaires pour analyser les interdépendances entre différents secteurs économiques. Si x représente le vecteur de production et A la matrice des coefficients techniques, le modèle s'écrit :
x = Ax + d
où d représente la demande finale.
2. Ingénierie et Physique
Les systèmes linéaires sont fondamentaux dans l'analyse des circuits électriques, la mécanique des structures et la dynamique des fluides.
Exemple : Analyse de Circuit
Les lois de Kirchhoff peuvent être exprimées sous forme de systèmes linéaires. Pour un circuit avec n nœuds et m mailles, on peut écrire :
AI = V
où A est la matrice d'incidence, I le vecteur des courants et V le vecteur des tensions.
3. Biologie et Écologie
Les systèmes linéaires sont utilisés pour modéliser les interactions entre espèces, la croissance des populations et les flux dans les écosystèmes.
Exemple : Modèle Proie-Prédateur
Une version linéarisée du modèle de Lotka-Volterra peut s'écrire sous forme de système linéaire :
dx/dt = ax - bxy
dy/dt = -cy + dxy
où x et y représentent respectivement les populations de proies et de prédateurs.
4. Informatique et Optimisation
Les systèmes linéaires sont à la base de nombreux algorithmes d'optimisation, de compression de données et de traitement d'image.
Exemple : Compression d'Image
La compression JPEG utilise la transformation en cosinus discrète (DCT) qui peut être exprimée comme un système linéaire :
Y = AXAT
où X est la matrice de pixels originale et Y la matrice transformée.
5. Chimie et Équilibres Chimiques
Les systèmes linéaires sont utilisés pour résoudre des problèmes d'équilibre chimique et de stœchiométrie.
Exemple : Équilibre Chimique
Pour une réaction chimique à l'équilibre, on peut écrire un système linéaire basé sur les constantes d'équilibre :
K = [C]c[D]d / ([A]a[B]b)
où K est la constante d'équilibre et les lettres majuscules représentent les concentrations des espèces chimiques.
Exercice Interactif : Résolution d'un Système Linéaire Simple
Considérons le système suivant :
2x + y = 5
x - y = 1
Essayez de deviner les valeurs de x et y, puis cliquez pour vérifier :