Introduction
L'interprétation géométrique des systèmes linéaires nous permet de visualiser les solutions de ces systèmes dans l'espace. Cette approche est particulièrement utile pour comprendre intuitivement les différents types de solutions possibles.
Systèmes à deux équations et deux inconnues
Considérons un système linéaire à deux équations et deux inconnues :
a₂x + b₂y = c₂
Géométriquement, chaque équation représente une droite dans le plan. La solution du système correspond à l'intersection de ces deux droites.
Cas possibles :
- Une solution unique : Les droites se croisent en un point.
- Pas de solution : Les droites sont parallèles et distinctes.
- Une infinité de solutions : Les droites sont confondues.
Systèmes à trois équations et trois inconnues
Pour un système à trois équations et trois inconnues :
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Chaque équation représente un plan dans l'espace tridimensionnel. La solution du système correspond à l'intersection de ces trois plans.
Cas possibles :
- Une solution unique : Les trois plans s'intersectent en un point.
- Pas de solution : Les plans n'ont pas de point d'intersection commun.
- Une infinité de solutions (droite) : Deux plans s'intersectent selon une droite, et le troisième plan contient cette droite.
- Une infinité de solutions (plan) : Les trois plans sont confondus.
Exemple
Considérons le système :
x - y = 1
Géométriquement, ce système représente deux droites qui se croisent en un point. La solution unique est le point d'intersection (2, 1).
Conclusion
L'interprétation géométrique des systèmes linéaires offre une perspective visuelle précieuse pour comprendre les relations entre les équations et leurs solutions. Cette approche peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes complexes et pour développer une intuition mathématique plus profonde.
Pratiquer avec des exercices