Applications géométriques des nombres complexes

Les nombres complexes offrent une approche puissante et élégante pour résoudre de nombreux problèmes géométriques. Dans ce cours, nous explorerons les applications géométriques des nombres complexes, en mettant l'accent sur les transformations du plan complexe.

1. Représentation géométrique des nombres complexes

Rappelons qu'un nombre complexe z = a + bi peut être représenté comme un point (a, b) dans le plan complexe, où l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe vertical la partie imaginaire.

Re Im z = 3 + 2i

2. Transformations géométriques avec les nombres complexes

2.1 Translation

Une translation de vecteur u = a + bi est représentée par l'addition du nombre complexe u à tous les points du plan :

z ↦ z + u

Exemple :

La translation de vecteur u = 2 + i transforme le point z = 1 + 3i en :

z' = z + u = (1 + 3i) + (2 + i) = 3 + 4i

2.2 Rotation

Une rotation d'angle θ autour de l'origine est représentée par la multiplication par eiθ :

z ↦ eiθ · z

Théorème :

La multiplication par un nombre complexe de module 1 (c'est-à-dire de la forme eiθ) correspond à une rotation d'angle θ autour de l'origine.

2.3 Homothétie

Une homothétie de rapport k > 0 centrée à l'origine est représentée par la multiplication par le nombre réel k :

z ↦ k · z

2.4 Similitude

Une similitude combine une rotation et une homothétie. Elle est représentée par la multiplication par un nombre complexe non nul :

z ↦ λ · z

où λ = k · eiθ, avec k > 0 le rapport d'homothétie et θ l'angle de rotation.

3. Applications à la résolution de problèmes géométriques

3.1 Alignement de points

Trois points z1, z2, et z3 sont alignés si et seulement si :

Im((z2 - z1)(z3 - z1)*) = 0

3.2 Orthogonalité

Deux vecteurs représentés par les nombres complexes z1 et z2 sont orthogonaux si et seulement si :

Re(z1 · z2*) = 0

Note :

L'utilisation des nombres complexes simplifie souvent la résolution de problèmes géométriques complexes en réduisant les calculs vectoriels à des opérations algébriques sur les nombres complexes.

4. Exercices

  1. Déterminez l'image du point z = 2 + 3i par une rotation de 90° autour de l'origine.
  2. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1 + i) et B(2 - i) dans le plan complexe.
  3. Démontrez que le triangle de sommets z1 = 0, z2 = 1 + i, et z3 = 2 est rectangle en z1.

Ces exercices vous aideront à maîtriser l'utilisation des nombres complexes pour résoudre des problèmes géométriques. N'hésitez pas à consulter les solutions et à poser des questions sur le forum si vous rencontrez des difficultés.