1. Introduction
Le théorème de Bézout, nommé d'après le mathématicien français Étienne Bézout, est un résultat fondamental en arithmétique. Il établit un lien important entre le PGCD de deux nombres et leurs combinaisons linéaires.
2. Énoncé du théorème de Bézout
Théorème de Bézout
Soient a et b deux entiers non tous deux nuls. Il existe deux entiers u et v tels que :
au + bv = PGCD(a,b)
De plus, PGCD(a,b) est le plus petit entier positif pouvant s'écrire sous la forme au + bv.
3. L'identité de Bézout
L'équation au + bv = PGCD(a,b) est appelée l'identité de Bézout. Les entiers u et v sont appelés les coefficients de Bézout.
4. Exemple
Trouvons l'identité de Bézout pour a = 48 et b = 18.
D'abord, calculons le PGCD : PGCD(48, 18) = 6
Nous cherchons donc des entiers u et v tels que :
48u + 18v = 6
Une solution possible est u = -1 et v = 3, car :
48(-1) + 18(3) = -48 + 54 = 6
5. Preuve du théorème de Bézout
La preuve utilise le principe de la descente infinie et se déroule comme suit :
- Considérons l'ensemble E des combinaisons linéaires positives de a et b.
- E est non vide car il contient au moins |a| et |b|.
- Soit d le plus petit élément positif de E.
- On montre que d divise a et b, donc d divise PGCD(a,b).
- On prouve ensuite que PGCD(a,b) divise d.
- On conclut que d = PGCD(a,b).
6. Applications du théorème de Bézout
- Résolution d'équations diophantiennes linéaires
- Détermination de l'existence de solutions pour certaines équations
- Calcul d'inverses modulaires en arithmétique modulaire
- Applications en cryptographie (par exemple, dans l'algorithme RSA)
Note : Le théorème de Bézout peut être généralisé à plus de deux nombres, mais cela dépasse le cadre de ce cours de lycée.