1. Divisibilité
Définition : Divisibilité
Soit a et b deux entiers. On dit que a divise b (ou que b est divisible par a) s'il existe un entier k tel que b = a × k.
On note alors : a | b
Exemple :
4 divise 12 car 12 = 4 × 3
On note : 4 | 12
Théorème : Propriétés de la divisibilité
Pour tous entiers a, b et c :
- Si a | b et b | c, alors a | c (transitivité)
- Si a | b et a | c, alors a | (b + c) et a | (b - c)
- Si a | b, alors a | (b × c) pour tout entier c
2. Congruences
Définition : Congruence
Soient a et b deux entiers et n un entier strictement positif. On dit que a est congru à b modulo n si n divise la différence (a - b).
On note alors : a ≡ b [n] ou a ≡ b (mod n)
Exemple :
17 ≡ 2 [5] car 17 - 2 = 15, et 5 divise 15
Théorème : Propriétés des congruences
Pour tous entiers a, b, c, d et n positif :
- Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a + c ≡ b + d [n]
- Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a × c ≡ b × d [n]
- Si a ≡ b [n], alors pour tout entier k, ka ≡ kb [n]
Note importante :
Les congruences sont un outil puissant en arithmétique, permettant de simplifier de nombreux calculs et de résoudre des problèmes complexes de divisibilité.