Introduction
L'équation de Pell-Fermat, parfois simplement appelée équation de Pell, est une équation diophantienne quadratique de la forme :
\[ x^2 - dy^2 = 1 \]
où \(d\) est un entier positif non carré, et on cherche des solutions entières pour \(x\) et \(y\).
Théorème
L'équation de Pell-Fermat \(x^2 - dy^2 = 1\) admet une infinité de solutions entières positives si \(d\) est un entier positif non carré.
Méthode de résolution
La résolution de l'équation de Pell-Fermat passe généralement par les étapes suivantes :
- Trouver la plus petite solution positive non triviale \((x_1, y_1)\).
- Utiliser cette solution fondamentale pour générer toutes les autres solutions.
Solution fondamentale
La solution fondamentale peut être trouvée en développant \(\sqrt{d}\) en fraction continue et en utilisant les convergents de cette fraction continue.
Exemple
Considérons l'équation \(x^2 - 2y^2 = 1\).
La plus petite solution positive non triviale est \((x_1, y_1) = (3, 2)\).
Génération de toutes les solutions
Une fois la solution fondamentale \((x_1, y_1)\) trouvée, toutes les autres solutions \((x_n, y_n)\) peuvent être générées par la formule récursive :
\[ x_n + y_n\sqrt{d} = (x_1 + y_1\sqrt{d})^n \]
Preuve
La preuve de cette formule repose sur le fait que si \((x, y)\) est une solution, alors \((x + y\sqrt{d})(x - y\sqrt{d}) = 1\).
En élevant cette expression à la puissance \(n\), on obtient la formule récursive.
Applications
L'équation de Pell-Fermat a des applications dans divers domaines, notamment :
- La théorie des nombres
- La cryptographie
- La géométrie des nombres
Démo interactive
Entrez une valeur pour d (entier positif non carré) :