Équations Linéaires Diophantiennes

Cours de Spécialité Mathématiques - Lycée

Introduction aux Équations Linéaires Diophantiennes

Une équation diophantienne linéaire est une équation de la forme ax + by = c, où a, b, et c sont des entiers donnés, et on cherche des solutions entières pour x et y. Ces équations portent le nom du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie.

Conditions d'Existence des Solutions

Pour qu'une équation diophantienne linéaire ax + by = c ait des solutions entières, une condition nécessaire et suffisante est que le PGCD de a et b divise c.

Théorème : L'équation ax + by = c admet des solutions entières si et seulement si PGCD(a,b) | c.

Méthode de Résolution

  1. Vérifier si PGCD(a,b) divise c.
  2. Si oui, utiliser l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver u et v tels que au + bv = PGCD(a,b).
  3. Multiplier l'équation obtenue par c / PGCD(a,b) pour obtenir une solution particulière.
  4. Exprimer la solution générale en fonction de cette solution particulière.

Exemple Détaillé

Résolvons l'équation : 15x + 21y = 102

  1. PGCD(15, 21) = 3 qui divise bien 102.
  2. L'algorithme d'Euclide étendu donne : 15 × 3 + 21 × (-2) = 3
  3. Multiplions par 34 (= 102/3) : 15 × 102 + 21 × (-68) = 102
  4. Une solution particulière est donc : (x₀, y₀) = (102, -68)
  5. La solution générale s'écrit : x = 102 + 7t y = -68 - 5t où t est un entier quelconque.

Applications

Les équations diophantiennes linéaires ont de nombreuses applications pratiques :

Exercice d'Application

Un marchand dispose de pièces de 5 euros et de 2 euros. De combien de façons peut-il rendre la monnaie sur 50 euros ?

Ce problème se traduit par l'équation diophantienne : 5x + 2y = 50

Voir la solution