Qu'est-ce que l'Hypothèse de Riemann ?
L'Hypothèse de Riemann, formulée par le mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1859, est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres et les plus importants en mathématiques. Elle concerne la distribution des nombres premiers et est étroitement liée à la fonction zêta de Riemann.
La fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann, notée ζ(s), est définie pour tout nombre complexe s avec une partie réelle supérieure à 1 par la série :
ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...
Cette fonction peut être étendue analytiquement à tout le plan complexe, à l'exception du point s = 1.
L'énoncé de l'Hypothèse de Riemann
L'Hypothèse de Riemann affirme que :
Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à 1/2.
En d'autres termes, si ζ(s) = 0 et s n'est pas un entier négatif pair, alors s = 1/2 + it, où t est un nombre réel.
Note : Les "zéros triviaux" de la fonction zêta sont les entiers négatifs pairs (-2, -4, -6, ...). L'hypothèse de Riemann ne concerne que les zéros "non triviaux".
Importance de l'Hypothèse de Riemann
L'Hypothèse de Riemann a des implications profondes dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment :
- La distribution des nombres premiers
- La théorie des nombres
- L'analyse complexe
- La théorie des probabilités
- La physique mathématique
Si elle était prouvée vraie, cela conduirait à une meilleure compréhension de la distribution des nombres premiers et résoudrait de nombreux autres problèmes mathématiques.
État actuel de l'Hypothèse de Riemann
Malgré plus de 150 ans de recherches intensives, l'Hypothèse de Riemann reste non démontrée. Elle est considérée comme l'un des problèmes du millénaire par le Clay Mathematics Institute, avec une récompense d'un million de dollars pour sa résolution.
De nombreuses vérifications numériques ont été effectuées, confirmant l'hypothèse pour un grand nombre de zéros non triviaux, mais une preuve complète reste insaisissable.
Conclusion
L'Hypothèse de Riemann reste l'un des plus grands défis des mathématiques modernes. Sa résolution aurait des répercussions considérables dans de nombreux domaines des mathématiques et pourrait ouvrir de nouvelles voies de recherche passionnantes.