Introduction
La loi de réciprocité quadratique, découverte par Leonhard Euler et Carl Friedrich Gauss, est l'un des théorèmes les plus importants et fascinants de la théorie des nombres. Elle établit une relation profonde entre les résidus quadratiques de deux nombres premiers impairs distincts.
Définitions préliminaires
Résidu quadratique
Un entier \(a\) est un résidu quadratique modulo un nombre premier impair \(p\) s'il existe un entier \(x\) tel que :
\(x^2 \equiv a \pmod{p}\)
Si une telle solution n'existe pas, \(a\) est appelé un non-résidu quadratique modulo \(p\).
Symbole de Legendre
Le symbole de Legendre \(\left(\frac{a}{p}\right)\) est défini pour un nombre premier impair \(p\) et un entier \(a\) non divisible par \(p\) comme suit :
\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{si } a \text{ est un résidu quadratique modulo } p \\ -1 & \text{si } a \text{ est un non-résidu quadratique modulo } p \end{cases}\)
Énoncé de la Loi de Réciprocité Quadratique
Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers impairs distincts. Alors :
\(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\)
Interprétation et conséquences
Cette loi signifie que les résidus quadratiques de \(p\) modulo \(q\) et de \(q\) modulo \(p\) sont liés de manière simple et élégante. Elle permet de calculer efficacement si un nombre est un résidu quadratique modulo un autre, ce qui a des applications importantes en cryptographie et en théorie algorithmique des nombres.
Exemple
Considérons \(p = 3\) et \(q = 5\).
Calculons : \(\left(\frac{3}{5}\right) = -1\) (car 3 n'est pas un carré modulo 5)
Et : \(\left(\frac{5}{3}\right) = -1\) (car 5 ≡ 2 mod 3, et 2 n'est pas un carré modulo 3)
Vérifions : \((-1)(-1) = 1 = (-1)^{\frac{(3-1)(5-1)}{4}} = (-1)^2 = 1\)
La loi est vérifiée dans cet exemple.
Applications
La loi de réciprocité quadratique a de nombreuses applications :
- Résolution d'équations congruentielles quadratiques
- Étude des formes quadratiques
- Cryptographie à clé publique (notamment dans le système RSA)
- Tests de primalité
Note historique
Gauss considérait cette loi comme le "théorème d'or" de l'arithmétique. Il en a fourni huit preuves différentes au cours de sa vie, illustrant à la fois l'importance et la profondeur de ce résultat.
Conclusion
La loi de réciprocité quadratique est un résultat fondamental qui lie de manière surprenante et élégante les propriétés de deux nombres premiers. Sa découverte a ouvert la voie à de nombreux développements en théorie des nombres et continue d'inspirer la recherche mathématique moderne.
Exercices sur la Loi de Réciprocité Quadratique