Les Nombres Parfaits

Cours de Spécialité Mathématiques - Arithmétique

Introduction aux Nombres Parfaits

Les nombres parfaits sont un concept fascinant en arithmétique, étudiés depuis l'antiquité. Ils ont des propriétés uniques qui continuent d'intriguer les mathématiciens aujourd'hui.

Définition

Un nombre parfait est un nombre entier positif qui est égal à la somme de ses diviseurs propres (tous ses diviseurs positifs autres que lui-même).

Propriétés des Nombres Parfaits

Exemple

Le nombre 6 est le plus petit nombre parfait :

Les diviseurs propres de 6 sont 1, 2, et 3.
1 + 2 + 3 = 6

Le prochain nombre parfait est 28 :

Les diviseurs propres de 28 sont 1, 2, 4, 7, et 14.
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Liste des premiers nombres parfaits

Nombre Parfait	Décomposition
6	1 + 2 + 3
28	1 + 2 + 4 + 7 + 14
496	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Théorème d'Euclide-Euler

Tous les nombres parfaits pairs sont de la forme :

2^n-1(2ⁿ - 1)

où 2ⁿ - 1 est un nombre premier (appelé nombre premier de Mersenne).

Caractéristiques des Nombres Parfaits

Tous les nombres parfaits connus sont pairs.
On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.
La recherche de grands nombres parfaits est liée à la recherche de grands nombres premiers de Mersenne.

Note historique

Les nombres parfaits étaient connus des anciens Grecs. Euclide a prouvé que 2^n-1(2ⁿ - 1) est parfait si 2ⁿ - 1 est premier. Euler a démontré plus tard que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Applications et Curiosités

Bien que les nombres parfaits n'aient pas d'applications pratiques directes, leur étude a conduit à des avancées dans la théorie des nombres et la cryptographie.

Challenge

À ce jour (2024), seulement 51 nombres parfaits sont connus. Le plus grand nombre parfait connu a 49.724.095 chiffres!

Exercices

Vérifiez si 496 est un nombre parfait en listant tous ses diviseurs propres.
Trouvez le cinquième nombre parfait.
Démontrez que la somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est toujours égale à 2.