Introduction
Le Petit Théorème de Fermat, découvert par Pierre de Fermat au 17ème siècle, est l'un des résultats les plus importants et élégants de la théorie des nombres. Il établit une relation remarquable entre les nombres premiers et les puissances modulaires.
Énoncé du Petit Théorème de Fermat
Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un entier non divisible par \(p\). Alors :
\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\]
Une formulation équivalente est :
\[a^p \equiv a \pmod{p}\]
Cette dernière forme est valable pour tout entier \(a\), même si \(a\) est divisible par \(p\).
Importance et Applications
Le Petit Théorème de Fermat a de nombreuses applications en mathématiques et en informatique, notamment :
- Tests de primalité probabilistes
- Cryptographie à clé publique (comme RSA)
- Calculs efficaces de grands nombres modulaires
Preuve (esquisse)
La preuve complète est au-delà du programme de spécialité du lycée, mais voici une esquisse de la démonstration :
- On considère les multiples de \(a\) modulo \(p\) : \(a, 2a, 3a, ..., (p-1)a\)
- On montre que ces nombres sont tous distincts modulo \(p\)
- Donc, ils forment une permutation de \(1, 2, 3, ..., p-1\) modulo \(p\)
- En multipliant tous ces nombres, on obtient :
- Ce qui se simplifie en :
- Comme \((p-1)!\) n'est pas divisible par \(p\), on peut le simplifier des deux côtés, donnant le résultat final.
\[a \cdot 2a \cdot 3a \cdot ... \cdot (p-1)a \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-1) \pmod{p}\]
\[a^{p-1} \cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p}\]
Exemple
Prenons \(p = 7\) (un nombre premier) et \(a = 3\).
Le Petit Théorème de Fermat prédit que :
\[3^6 \equiv 1 \pmod{7}\]
Vérifions :
\[3^6 = 729 \equiv 1 \pmod{7}\]
En effet, 729 divisé par 7 donne un reste de 1, confirmant le théorème.
Note importante
Le Petit Théorème de Fermat fournit une condition nécessaire mais non suffisante pour qu'un nombre soit premier. Autrement dit, si la congruence n'est pas satisfaite, le nombre n'est certainement pas premier. Cependant, si elle est satisfaite, le nombre pourrait être premier, mais ce n'est pas garanti.
Conclusion
Le Petit Théorème de Fermat est un outil puissant en théorie des nombres. Sa simplicité apparente cache des applications profondes et variées. En comprenant ce théorème, vous ouvrez la porte à une compréhension plus profonde de l'arithmétique modulaire et de ses applications modernes.
Pratiquer avec des exercices