Introduction à la Cryptographie

Arithmétique et Théorie des Nombres - Spécialité Mathématiques Lycée

1. Qu'est-ce que la cryptographie ?

La cryptographie est la science qui étudie les moyens de transmettre des informations de manière sécurisée, en les rendant inintelligibles pour toute personne non autorisée.

Note : La cryptographie moderne repose largement sur des concepts mathématiques avancés, notamment l'arithmétique et la théorie des nombres.

2. Le chiffrement de César

Le chiffrement de César est l'une des plus anciennes techniques de cryptographie. Il consiste à décaler chaque lettre du message d'un certain nombre de positions dans l'alphabet.

Exemple : Avec un décalage de 3, "A" devient "D", "B" devient "E", etc.
Message : "BONJOUR" → Message chiffré : "ERQMRXU"

Ce chiffrement peut être représenté mathématiquement par la formule :

E(x) = (x + k) mod 26

où x est la position de la lettre dans l'alphabet (A=0, B=1, ..., Z=25) et k est la clé de chiffrement (le décalage).

3. Cryptographie à clé publique : RSA

Le système RSA est l'un des premiers systèmes de cryptographie à clé publique. Il repose sur la difficulté de factoriser le produit de deux grands nombres premiers.

Principe de base :

  1. Choisir deux grands nombres premiers p et q.
  2. Calculer n = p * q
  3. Calculer φ(n) = (p-1) * (q-1)
  4. Choisir un entier e premier avec φ(n)
  5. Calculer d tel que d * e ≡ 1 (mod φ(n))

La clé publique est (n, e) et la clé privée est d.

Chiffrement : C = Me mod n
Déchiffrement : M = Cd mod n
Note importante : La sécurité de RSA repose sur la difficulté de factoriser n en p et q lorsque ces nombres sont très grands.

4. Applications de la cryptographie

Exercices et approfondissement

Pour mieux comprendre et pratiquer les concepts de cryptographie :

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