Cours sur les Déterminants

1. Introduction aux déterminants

Les déterminants sont des outils puissants en algèbre linéaire, utilisés pour résoudre des systèmes d'équations, calculer des volumes, et déterminer si des matrices sont inversibles.

Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre qui résume certaines propriétés de la matrice.

2. Calcul des déterminants

2.1 Déterminant d'une matrice 2x2

Pour une matrice 2x2 :

2.2 Déterminant d'une matrice 3x3

Pour une matrice 3x3, on utilise la règle de Sarrus :

2.3 Déterminant d'une matrice nxn

Pour les matrices de taille supérieure, on utilise le développement par rapport à une ligne ou une colonne, ou des méthodes plus avancées comme la triangularisation.

3. Propriétés des déterminants

• det(AB) = det(A) * det(B)
• det(A^T) = det(A)
• Si A est inversible, det(A^(-1)) = 1/det(A)
• Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale

4. Applications des déterminants

4.1 Inversibilité d'une matrice

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

4.2 Résolution de systèmes linéaires

Les déterminants peuvent être utilisés dans la méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.

4.3 Calcul d'aires et de volumes

Le déterminant d'une matrice 2x2 donne l'aire du parallélogramme défini par ses vecteurs colonnes. En 3D, le déterminant d'une matrice 3x3 donne le volume du parallélépipède correspondant.

5. Exemple