L'exponentielle complexe est une extension de la fonction exponentielle réelle au domaine des nombres complexes. Elle joue un rôle fondamental en analyse complexe et a de nombreuses applications en physique et en ingénierie.
Pour tout nombre complexe \(z = x + iy\), l'exponentielle complexe est définie par :
Cette formule est connue sous le nom de formule d'Euler.
Calculons \(e^{1+i\pi/2}\) :
\(e^{1+i\pi/2} = e^1 \cdot e^{i\pi/2} = e \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = e \cdot (0 + i) = ei\)
Calculez \(e^{a+bi}\) :
L'exponentielle complexe peut être représentée géométriquement sur le plan complexe. Pour \(e^{i\theta}\), elle décrit un cercle unitaire.
L'exponentielle complexe est une fonction périodique avec une période de \(2\pi i\). Cela signifie que :
Cette propriété est fondamentale pour comprendre le comportement de la fonction sur le plan complexe.