L'Exponentielle Complexe

Introduction

L'exponentielle complexe est une extension de la fonction exponentielle réelle au domaine des nombres complexes. Elle joue un rôle fondamental en analyse complexe et a de nombreuses applications en physique et en ingénierie.

Définition

Pour tout nombre complexe \(z = x + iy\), l'exponentielle complexe est définie par :

\[ e^z = e^x (\cos y + i \sin y) \]

Cette formule est connue sous le nom de formule d'Euler.

Propriétés importantes

  1. Périodicité : \(e^{z + 2\pi i} = e^z\)
  2. Formule d'Euler : \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)
  3. Identité d'Euler : \(e^{i\pi} + 1 = 0\)
  4. Pour tout \(z\) complexe : \(|e^z| = e^{\text{Re}(z)}\)

Exemple

Calculons \(e^{1+i\pi/2}\) :

\(e^{1+i\pi/2} = e^1 \cdot e^{i\pi/2} = e \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = e \cdot (0 + i) = ei\)

Application interactive

Calculez \(e^{a+bi}\) :

Représentation géométrique

L'exponentielle complexe peut être représentée géométriquement sur le plan complexe. Pour \(e^{i\theta}\), elle décrit un cercle unitaire.

Note importante

L'exponentielle complexe est une fonction périodique avec une période de \(2\pi i\). Cela signifie que :

\[ e^z = e^{z + 2\pi i} \]

Cette propriété est fondamentale pour comprendre le comportement de la fonction sur le plan complexe.