Introduction
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels. Ils sont essentiels en mathématiques et ont de nombreuses applications en physique, ingénierie et autres domaines scientifiques. La forme algébrique est la représentation la plus courante des nombres complexes.
Définition
Un nombre complexe z sous sa forme algébrique s'écrit :
où :
- a est la partie réelle de z, notée Re(z)
- b est la partie imaginaire de z, notée Im(z)
- i est l'unité imaginaire, définie par i² = -1
Propriétés
1. Égalité
Deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di sont égaux si et seulement si a = c et b = d.
2. Addition
L'addition de deux nombres complexes se fait terme à terme :
3. Multiplication
La multiplication de deux nombres complexes utilise la distributivité et la propriété i² = -1 :
4. Conjugué
Le conjugué de z = a + bi, noté z̄, est défini par :
5. Module
Le module de z = a + bi, noté |z|, est défini par :
Exemple
Soit z = 3 + 4i
Partie réelle : Re(z) = 3
Partie imaginaire : Im(z) = 4
Conjugué : z̄ = 3 - 4i
Module : |z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Exercice interactif
Calculez la somme de z₁ = 2 + 3i et z₂ = -1 + 5i
Note importante
La forme algébrique est particulièrement utile pour l'addition et la soustraction des nombres complexes. Cependant, pour la multiplication et la division, la forme trigonométrique ou exponentielle peut s'avérer plus pratique dans certains cas.