Forme trigonométrique des nombres complexes

La forme trigonométrique des nombres complexes est une représentation alternative qui utilise les concepts de module et d'argument. Elle est particulièrement utile pour certaines opérations comme la multiplication, la division, et l'élévation à une puissance.

1. Définition

Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Sa forme trigonométrique s'écrit :

\[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\] où :

\(r\) est le module de \(z\), noté \(|z|\)
\(\theta\) est l'argument de \(z\), noté \(\arg(z)\)

2. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Pour un nombre complexe \(z = a + bi\), on a :

Le module : \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
L'argument : \(\theta = \arg(z) = \arctan(\frac{b}{a})\) (avec des ajustements selon le quadrant)

Exemple : Convertir \(z = 3 + 4i\) en forme trigonométrique.

Solution :

\(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
\(\theta = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 0.927\) radians

Donc, \(z = 5(\cos 0.927 + i \sin 0.927)\)

3. Représentation graphique

Dans le plan complexe, le nombre \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) est représenté par un point dont :

La distance à l'origine est \(r\)
L'angle avec l'axe réel positif est \(\theta\)

4. Propriétés et opérations

Multiplication : Si \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\) et \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\), alors :

\[z_1 \times z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))\]

Division : Pour les mêmes \(z_1\) et \(z_2\) :

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))\]

Formule de De Moivre : Pour tout nombre complexe \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) et tout entier \(n\) :

\[z^n = r^n(\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))\]

5. Application interactive

Utilisez les curseurs ci-dessous pour explorer la forme trigonométrique des nombres complexes :

6. Conclusion

La forme trigonométrique des nombres complexes offre une perspective géométrique puissante et simplifie certaines opérations complexes. Elle est particulièrement utile dans des domaines tels que l'analyse de Fourier, le traitement du signal, et l'électrotechnique.

7. Exercices

Pour renforcer votre compréhension, essayez ces exercices :

Convertissez \(2-2i\) en forme trigonométrique.
Multipliez \(2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})\) et \(3(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\).
Calculez \((1+i)^6\) en utilisant la formule de De Moivre.

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