Pour calculer la distance entre deux points A(x₁, y₁, z₁) et B(x₂, y₂, z₂) dans l'espace, on utilise la formule suivante :
\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \]
Calculons la distance entre A(1, 2, 3) et B(4, 6, 8)
\[ d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
L'angle θ entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donné par la formule du produit scalaire :
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
où \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est le produit scalaire et \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\) sont les normes des vecteurs.
Calculons l'angle entre \(\vec{u} = (1, 1, 1)\) et \(\vec{v} = (1, 0, -1)\)
\[ \cos \theta = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 \]
Donc, θ = arccos(0) = 90°. Les vecteurs sont perpendiculaires.
Pour calculer la distance d d'un point P(x₀, y₀, z₀) à une droite définie par un point A(x₁, y₁, z₁) et un vecteur directeur \(\vec{v} = (a, b, c)\), on utilise la formule :
\[ d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \]
où × représente le produit vectoriel.
La distance d d'un point P(x₀, y₀, z₀) à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par :
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
Utilisez votre souris pour faire pivoter la scène et observer l'angle entre les deux vecteurs.