MathEsprit - Intersections de droites et plans (Spécialité Lycée)

Introduction

Dans ce cours, nous allons explorer les méthodes pour déterminer les intersections entre droites et plans dans l'espace. Ces concepts sont fondamentaux en géométrie analytique et ont de nombreuses applications en modélisation 3D, en physique et en ingénierie.

1. Intersection de deux droites

Commençons par le cas le plus simple : l'intersection de deux droites dans un plan.

1.1 Méthode analytique

Soit deux droites d₁ et d₂ d'équations respectives :

d₁ : y = a₁x + b₁
d₂ : y = a₂x + b₂

Le point d'intersection, s'il existe, est la solution du système :

{ y = a₁x + b₁ y = a₂x + b₂ }

Exemple :

Trouvons l'intersection des droites d₁ : y = 2x + 1 et d₂ : y = -x + 4

Résolution :

2x + 1 = -x + 4
3x = 3
x = 1
y = 2(1) + 1 = 3

Le point d'intersection est donc (1, 3).

1.2 Cas particuliers

Si a₁ = a₂ et b₁ ≠ b₂, les droites sont parallèles et ne s'intersectent pas.
Si a₁ = a₂ et b₁ = b₂, les droites sont confondues.

2. Intersection d'une droite et d'un plan

Passons maintenant à l'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace 3D.

2.1 Équations paramétriques

Une droite dans l'espace peut être représentée par des équations paramétriques :

x = x₀ + at
y = y₀ + bt
z = z₀ + ct

où (x₀, y₀, z₀) est un point de la droite et (a, b, c) est un vecteur directeur.

Un plan peut être représenté par l'équation :

Ax + By + Cz + D = 0

2.2 Calcul de l'intersection

Pour trouver l'intersection, on substitue les équations de la droite dans l'équation du plan :

A(x₀ + at) + B(y₀ + bt) + C(z₀ + ct) + D = 0

On résout cette équation pour t, puis on substitue la valeur de t dans les équations de la droite pour obtenir le point d'intersection.

Exemple :

Trouvons l'intersection de la droite d : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, -1, 2) et du plan P : 2x - y + z = 4

Résolution :

2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) = 4
2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t = 4
5t = 1
t = 1/5

Le point d'intersection est donc :

x = 1 + 1/5 = 6/5
y = 2 - 1/5 = 9/5
z = 3 + 2/5 = 17/5

Note : Si le coefficient de t dans l'équation finale est nul, cela signifie que :

Si le terme constant est aussi nul, la droite est contenue dans le plan.
Sinon, la droite est parallèle au plan et ne l'intersecte pas.

3. Démonstration interactive

Voici une démonstration interactive de l'intersection d'une droite et d'un plan :

Conclusion

La détermination des intersections entre droites et plans est un concept fondamental en géométrie analytique. Ces techniques sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques, en physique et en ingénierie.

Pratiquer avec des exercices