1. Translations
Une translation est une transformation géométrique qui déplace tous les points d'une figure dans la même direction et à la même distance.
Définition mathématique
Soit u un vecteur. La translation de vecteur u est l'application qui à tout point M associe le point M' tel que :
MM' = u
Propriétés des translations
- Une translation conserve les distances, les angles et les aires.
- L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle.
- Deux translations successives peuvent être remplacées par une seule translation dont le vecteur est la somme des vecteurs des deux translations.
Démonstration interactive : Translation
2. Rotations
Une rotation est une transformation géométrique qui fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, selon un angle donné.
Définition mathématique
Soit O un point du plan et θ un angle orienté. La rotation de centre O et d'angle θ est l'application qui à tout point M associe le point M' tel que :
- OM = OM'
- L'angle (OM, OM') est égal à θ
Propriétés des rotations
- Une rotation conserve les distances, les angles et les aires.
- L'image d'une droite par une rotation est une droite, sauf si la droite passe par le centre de rotation.
- Deux rotations successives de même centre peuvent être remplacées par une seule rotation dont l'angle est la somme des angles des deux rotations.
Démonstration interactive : Rotation
3. Composition de transformations
Les translations et les rotations peuvent être composées pour créer des transformations plus complexes.
Exemple
Considérons une translation T de vecteur u(2, 3) suivie d'une rotation R de centre O(0, 0) et d'angle 90°.
Pour un point M(x, y), la transformation composée R ∘ T(M) peut être calculée comme suit :
- T(M) = (x+2, y+3)
- R(T(M)) = (-y-3, x+2)
Démonstration interactive : Composition de transformations