Dans l'espace tridimensionnel, un vecteur est représenté par trois composantes (x, y, z) qui définissent sa direction et sa magnitude.
Un vecteur \(\vec{v}\) dans l'espace 3D est défini par trois composantes :
\[\vec{v} = (x, y, z)\]
où x, y et z sont des nombres réels représentant les déplacements selon les axes x, y et z respectivement.
L'addition de deux vecteurs \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) se fait composante par composante :
\[\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)\]
La multiplication d'un vecteur \(\vec{v} = (x, y, z)\) par un scalaire k se fait ainsi :
\[k\vec{v} = (kx, ky, kz)\]
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) est défini comme :
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\]
L'angle \(\theta\) entre deux vecteurs non nuls \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) peut être calculé à l'aide du produit scalaire :
\[\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]
où \(|\vec{a}|\) et \(|\vec{b}|\) sont les magnitudes des vecteurs.
Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\) est défini comme :
\[\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)\]
Soit \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) et \(\vec{b} = (4, 5, 6)\). Calculons leur produit vectoriel :
\[\begin{align} \vec{a} \times \vec{b} &= ((2 \cdot 6 - 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 - 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)) \\ &= (-3, 6, -3) \end{align}\]
Les vecteurs 3D sont des outils puissants pour représenter et manipuler des quantités dans l'espace tridimensionnel. Ils sont essentiels dans de nombreux domaines, tels que la physique, l'ingénierie et l'infographie.