MathEsprit - Cours de Géométrie Vectorielle (Spécialité Lycée)

Introduction à la géométrie vectorielle

La géométrie vectorielle est une branche des mathématiques qui utilise les vecteurs pour décrire les objets géométriques et leurs propriétés. Elle est particulièrement utile pour résoudre des problèmes en physique, en ingénierie et en informatique graphique.

1. Vecteurs dans l'espace

Un vecteur dans l'espace est représenté par trois composantes (x, y, z) correspondant aux déplacements le long des axes x, y et z.

v = (x, y, z)

Opérations sur les vecteurs

Addition : (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)
Multiplication par un scalaire : k(x, y, z) = (kx, ky, kz)

2. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est défini par :

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Propriétés importantes :

Commutativité : u · v = v · u
Distributivité : u · (v + w) = u · v + u · w
Angle entre deux vecteurs : cos θ = (u · v) / (||u|| ||v||)

3. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est un vecteur perpendiculaire à u et v :

u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)

Propriétés importantes :

Anticommutativité : u × v = -(v × u)
Non-associativité : (u × v) × w ≠ u × (v × w)
||u × v|| = ||u|| ||v|| sin θ

4. Applications en géométrie

Équation d'un plan

Un plan peut être défini par un point P₀(x₀, y₀, z₀) et un vecteur normal n(a, b, c) :

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Droite dans l'espace

Une droite peut être définie par un point P₀(x₀, y₀, z₀) et un vecteur directeur v(a, b, c) :

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b, c), t ∈ ℝ

Exemple : Calcul de l'angle entre deux vecteurs

Soient u = (1, 2, 3) et v = (4, 5, 6). Calculons l'angle entre ces deux vecteurs.

1. Calculons le produit scalaire : u · v = 1(4) + 2(5) + 3(6) = 32

2. Calculons les normes : ||u|| = √(1² + 2² + 3²) = √14, ||v|| = √(4² + 5² + 6²) = √77

3. Appliquons la formule : cos θ = (u · v) / (||u|| ||v||) = 32 / (√14 · √77)

4. θ = arccos(32 / (√14 · √77)) ≈ 0.225 radians ≈ 12.9°

Note importante

La géométrie vectorielle est un outil puissant pour résoudre des problèmes complexes en trois dimensions. Elle permet de simplifier de nombreux calculs et offre une approche intuitive pour comprendre les relations spatiales.