MathEsprit - Intervalles de Confiance (Spécialité Mathématiques)

1. Introduction aux intervalles de confiance

Les intervalles de confiance sont un outil statistique essentiel pour estimer un paramètre inconnu d'une population à partir d'un échantillon. Ils fournissent une plage de valeurs probables pour ce paramètre, associée à un niveau de confiance.

2. Définition et interprétation

Un intervalle de confiance à \(100(1-\alpha)\%\) pour un paramètre \(\theta\) est un intervalle calculé à partir des données de l'échantillon, qui contient la vraie valeur de \(\theta\) avec une probabilité de \(1-\alpha\).

Forme générale d'un intervalle de confiance :

\[ IC_{1-\alpha}(\theta) = [\hat{\theta} - m_\alpha, \hat{\theta} + m_\alpha] \]

où \(\hat{\theta}\) est l'estimateur ponctuel et \(m_\alpha\) est la marge d'erreur.

3. Intervalle de confiance pour une proportion

Pour une proportion \(p\) dans une grande population, l'intervalle de confiance à 95% est donné par :

\[ IC_{95\%}(p) = \left[\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right] \]

où \(\hat{p}\) est la proportion observée dans l'échantillon et \(n\) est la taille de l'échantillon.

Exemple

Dans un sondage auprès de 1000 personnes, 540 se déclarent favorables à une nouvelle loi. Calculons l'intervalle de confiance à 95% pour la proportion réelle dans la population.

Solution :

\(\hat{p} = 540/1000 = 0.54\)

\(n = 1000\)

Marge d'erreur = \(1.96\sqrt{\frac{0.54(1-0.54)}{1000}} \approx 0.0309\)

IC à 95% : [0.54 - 0.0309, 0.54 + 0.0309] = [0.5091, 0.5709]

Interprétation : Nous sommes 95% confiants que la vraie proportion de la population favorable à la loi se situe entre 50.91% et 57.09%.

4. Intervalle de confiance pour une moyenne

Pour la moyenne \(\mu\) d'une population normale ou pour un grand échantillon, l'intervalle de confiance à 95% est :

\[ IC_{95\%}(\mu) = \left[\bar{x} - 1.96\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96\frac{s}{\sqrt{n}}\right] \]

où \(\bar{x}\) est la moyenne de l'échantillon, \(s\) est l'écart-type de l'échantillon, et \(n\) est la taille de l'échantillon.

5. Facteurs influençant la largeur de l'intervalle

Niveau de confiance : plus il est élevé, plus l'intervalle est large
Taille de l'échantillon : plus elle est grande, plus l'intervalle est étroit
Variabilité des données : plus elle est grande, plus l'intervalle est large

Simulation interactive : Effet de la taille de l'échantillon

Ajustez la taille de l'échantillon pour voir son effet sur l'intervalle de confiance :

Taille de l'échantillon : 100

6. Exercice

Une étude mesure le temps de réaction moyen (en millisecondes) d'un groupe de 50 étudiants. La moyenne observée est de 285 ms avec un écart-type de 20 ms. Calculez l'intervalle de confiance à 95% pour le temps de réaction moyen de la population d'étudiants.