1. Définition de la forme algébrique
La forme algébrique d'un nombre complexe z est l'écriture :
z = a + bi
où :
- a est la partie réelle de z, notée Re(z)
- b est la partie imaginaire de z, notée Im(z)
- i est l'unité imaginaire définie par i² = -1
Exemple :
Le nombre complexe z = 3 + 2i a pour partie réelle a = 3 et pour partie imaginaire b = 2.
2. Opérations sur les nombres complexes
2.1 Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément leurs parties réelles et imaginaires :
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Exemple :
(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i
2.2 Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes, on utilise la distributivité et la propriété i² = -1 :
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Exemple :
(2 + 3i)(1 - i) = (2 × 1 - 3 × (-1)) + (2 × (-1) + 3 × 1)i = 5 + i
2.3 Division
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
(a + bi) / (c + di) = ((a + bi)(c - di)) / ((c + di)(c - di))
Exemple :
(3 + 2i) / (1 - i) = ((3 + 2i)(1 + i)) / ((1 - i)(1 + i)) = (3 + 3i + 2i - 2) / (1 + 1) = (1 + 5i) / 2 = 1/2 + 5i/2
Note importante :
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est z̄ = a - bi. La multiplication d'un nombre complexe par son conjugué donne toujours un nombre réel : (a + bi)(a - bi) = a² + b²
3. Représentation graphique
Un nombre complexe z = a + bi peut être représenté comme un point dans le plan complexe, où :
- L'axe horizontal représente la partie réelle
- L'axe vertical représente la partie imaginaire
Les coordonnées du point sont (a, b).
4. Exercices pratiques
Pour consolider vos connaissances, essayez de résoudre les exercices suivants :
- Calculez (4 - 3i) + (2 + 5i)
- Calculez (1 + i)(2 - 3i)
- Simplifiez (5 + 2i) / (3 - 4i)
- Représentez graphiquement les nombres complexes 3 + 2i, -1 - i, et 2 - 3i