Exercice 1 : Calcul de dérivées
Calculez la dérivée des fonctions suivantes :
- f(x) = 3x² + 2x - 5
- g(x) = sin(x) + cos(x)
- h(x) = e^x * ln(x)
Indice : N'oubliez pas d'utiliser les règles de dérivation (somme, produit, composée) et les dérivées des fonctions usuelles.
- f'(x) = 6x + 2
- g'(x) = cos(x) - sin(x)
- h'(x) = e^x * ln(x) + e^x / x
Exercice 2 : Application en physique - Vitesse instantanée
Un objet se déplace selon la fonction de position s(t) = t³ - 3t² + 2t, où s est en mètres et t en secondes.
- Trouvez la fonction vitesse v(t).
- Calculez la vitesse instantanée à t = 2 secondes.
Indice : La vitesse instantanée est la dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
- v(t) = s'(t) = 3t² - 6t + 2
- v(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 m/s
Exercice 3 : Application en économie - Maximisation du profit
Une entreprise produit des widgets. La fonction de profit P(x) en euros pour x widgets produits est donnée par :
P(x) = -0.5x² + 100x - 1000
- Trouvez la fonction de profit marginal P'(x).
- Déterminez le nombre de widgets à produire pour maximiser le profit.
- Calculez le profit maximal.
Indice : Le profit est maximal lorsque le profit marginal est égal à zéro.
- P'(x) = -x + 100
- Pour maximiser le profit : P'(x) = 0, donc -x + 100 = 0, x = 100 widgets
- Profit maximal : P(100) = -0.5(100)² + 100(100) - 1000 = -5000 + 10000 - 1000 = 4000 euros