Dans cet exercice, vous allez pratiquer la technique d'intégration par parties pour résoudre des intégrales complexes. Cette méthode est essentielle pour intégrer des produits de fonctions et est largement utilisée en analyse mathématique avancée.
La formule d'intégration par parties est :
∫ u dv = uv - ∫ v du
où u et dv sont deux fonctions choisies stratégiquement pour simplifier l'intégrale.
Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode d'intégration par parties :
∫ x ln(x) dx
Choisissons :
u = ln(x) et dv = x dx
du = 1/x dx et v = x²/2
∫ x ln(x) dx = (x²/2)ln(x) - ∫ (x²/2)(1/x) dx
= (x²/2)ln(x) - ∫ (x/2) dx
= (x²/2)ln(x) - (x²/4) + C
La solution de l'intégrale est :
∫ x ln(x) dx = (x²/2)ln(x) - (x²/4) + C
où C est la constante d'intégration.
Pour vous entraîner davantage, essayez de résoudre les intégrales suivantes :