Introduction aux nombres complexes
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, permettant de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles. Un nombre complexe est de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire définie par i² = -1.
Exercice 1 : Opérations de base
Soit z₁ = 3 + 2i et z₂ = 1 - 4i. Calculez :
- z₁ + z₂
- z₁ - z₂
- z₁ × z₂
- z₁ + z₂ = (3 + 2i) + (1 - 4i) = 4 - 2i
- z₁ - z₂ = (3 + 2i) - (1 - 4i) = 2 + 6i
- z₁ × z₂ = (3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i² = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i
Exercice 2 : Forme trigonométrique
Exprimez le nombre complexe z = 1 + i sous sa forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ).
Pour z = 1 + i :
- r = √(1² + 1²) = √2
- θ = arctan(1/1) = π/4
Donc, z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
Exercice 3 : Équation du second degré dans C
Résolvez l'équation suivante dans C : z² + 2z + 5 = 0
Utilisons la formule quadratique : z = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Ici, a = 1, b = 2, c = 5
Δ = b² - 4ac = 4 - 20 = -16
z = (-2 ± √(-16)) / 2 = -1 ± 2i
Les solutions sont donc : z₁ = -1 + 2i et z₂ = -1 - 2i